Funciones Escalonadas

Denominamos como (Funciones escalonadas) a aquellas funciones que son definidas en un intervalo [a,b] finito de tal manera que sí mismas se encuentran definidas por medio de trozos (Segmentos), los cuales generán en un cierto sentido discontinuidades en la manera en la cual el comportamiento gráfico de una función se va dando.

Se representan como:

Como su nombre lo dice, su comportamiento gráfico genera la noción como si hubiera unos escalones proyectos es un plano (XY). Donde tales no necesariamente pueden tener un aspecto creciente, pueden tener un aspecto de decrecimiento también.

Dichas son creadas tomando la noción de cada cuando se presento una discontinuidad, lo cual da la posibilidad de definir la longitud de los segmentos a (Trozos).

Dentro de las nociones del analísis matemático existe un herramienta ejemplificada como una función base la cual nos da hincápie a la posibilidad de poder formular una función escalonada con facilidad, debido a que tal se basa en el criterio de una unidad de longitud en lo que respecta a los segmentos (trozos).

Tal es denominada ‘Función escalón unitario o función unitaria de heaviside y es definida como:

Es una función matemática discontinua cuyo valor es 0 para cualquier valor negativo del dominio, y 1 para cualquier valor positivo del dominio.

Entre las aplicaciones típicas que podemos encontrar de la misma destacan principalmente procesamiento de señales, tal como se había indicado en anteriores artículos:

Si se construyerá un modelo matemático que ejemplificará esto, tendríamos una función escalonada dada en un intervalo [a,b] donde el intervalo representaría aquellos valores en los cuales el interruptor estuvo apagado y encendio hasta que alcanzo su mayor intensidad, y se daño o simplemente se apago en definitivo.

Ejemplo de una función descrita por medio de heaviside:

Dichas funciones poseen la particularidad de poder ser descritas en términos de una función compuesta (Como se observa en el ejemplo superior) o bien a través de una función algebraica polinomial. Lo cual facilita en gran medida la visualización y determinación del ritmo de cambio de la misma.

Pues si es vista como una función compuesta el determinar el ritmo de cambio no es tan sencillo como podría ser algebraicamente, todo esto asumiendo que tal función posee la propiedad de describirse algebraicamente.

Lo cual vuelve a la “función escalón unitario” una herramienta para la construcción de una Función escalonada.

Es importante reiterar que una función escalonada en realidad en una función compuesta en exclusiva ya que se escuentra dictada en términos de ellas, solo anexando que una función compuesta es un término más general utilizado para definir aquellas funciones con comportamientos muy variados.

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Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

Ejemplos

D =

D =

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FUNCIÓN IDENTIDAD

Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

La función identidad también suele denotarse por id.

La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.

La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Al ser ésta positiva (m > 0), la función es creciente.

Que la pendiente de la función identidad sea m = 1 significa que si aumentamos la x en una unidad, la y también aumenta en una unidad.

Formará un ángulo de 45° con cualquiera de los ejes

Resultado de imagen para funcion identidad

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FUNCIÓN CONSTANTE

Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂).

Dibujo de una función constante entre dos puntos.

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

También se puede definir una función constante a partir de la derivada. Una función f será constante si para todo punto x del dominio la derivada es nula, es decir f ’(x) = 0.

La derivada de la función constante es 0 porque no depende del valor de la variable independiente x.

Función constante en un intervalo

Sean a y b dos elementos del dominio, tales que c < d forman el intervalo [c,d].

Una función es constante entre c y d si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂). Es decir, es constante en [c,d] si al aumentar la variable independiente x, la variable dependiente y permanece constante.